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\newtheorem{mycorollary}{推论}
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\title[奇解]{《常微分方程》第四章：奇解}
\author[]{LQW}
%\institute[XX大学]{XX大学\quad 数学与统计学院\quad 数学与应用数学专业}
%\date{2025年6月}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

% 封面页
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

% 目录页
%\begin{frame}{目录}
%  \tableofcontents
%\end{frame}

%\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{目录}

\begin{enumerate}
\item[4.1.]   一阶隐式微分方程：\\ {\color{red}使用微分法和参数法求解微分方程。} %&1,2,3,4&1,2
\item[4.2.]   奇解：\\ {\color{red}使用p-判别式求微分方程的奇解。} %&&1
\item[4.3.]   包络：\\ {\color{red}求微分方程的积分曲线族的包络曲线。} %&1&1
%\item[4.4.*]   奇解的存在定理（略）

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.1.a. 一阶隐式微分方程的概念 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问：什么是一阶隐式微分方程？什么是一阶显式微分方程？} 

\item  答：
\begin{enumerate}\itemsep1em

\item  一阶隐式微分方程是含有自变量 $x$, 未知函数 $y$, 以及导函数 $\frac{dy}{dx}$ 的等式：$$F(x,y,\frac{dy}{dx}) = 0. $$

\item  一阶显式微分方程是未知函数的导函数 $\frac{dy}{dx}$ 能写成的自变量 $x$ 与未知函数 $y$ 的显式函数：$$\frac{dy}{dx} = f(x,y). $$

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.1.b. 一阶隐式微分方程的例子 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问：写出一些一阶隐式微分方程的例子。} 

\item  答：
\begin{eqnarray*}
4y - 4xy' + (y')^2 &=& 0. \\ 
x(y')^2 - 2yy' + 9x &=& 0. \\ 
y^2 + (y')^2 -1 &=& 0. \\ 
(y')^2 + y - x &=& 0. 
\end{eqnarray*}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.1.1.1. 微分法 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问：什么是微分法？} 

\item  答：
\begin{enumerate}\itemsep1em

\item  记 $p=\frac{dy}{dx}$, 设微分方程可以写成 $y=f(x,p)$. 
\item  微分法是指两边对 $x$ 进行微分，得到 $$ p=f\,'_1(x,p)+f\,'_2(x,p)\frac{dp}{dx}. $$
\item  这是一个关于自变量 $x$ 与未知函数 $p$ 的微分方程。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.1.1.2. 克莱罗方程}

\begin{itemize}

\item  {\color{red}例子1.  记 $p=\frac{dy}{dx}$, 求解克莱罗方程 $y=xp+f(p)$. 特别地，求解 $$y=xp-\frac{1}{4}p^2, \,\,\text{ 即 }\,\, 4y + (y')^2=4xy'.$$ } 

\item  解答：
\begin{enumerate}\itemsep0.5em 
\item  方程两边对 $x$ 微分，得 $4y'+2y'y''=4y'+4xy''$. 
\item  化简得 $(y'-2x)y''=0$. 
\item  积分得 $y=x^2+C$ 与 $y=Ax+B$, 其中 $A,B,C$ 为任意常数。
\item  代回原方程得 $C=0$ 与 $B=-\frac{A^2}{4}$. 
\item  通积分为 $y=Ax-\frac{A^2}{4}$, 奇解 $y=x^2$.
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.1.1.3. }

\begin{itemize}

\item  克莱罗方程 $4y + (y')^2=4xy'$ 积分曲线族与奇解：

\begin{center}
\includegraphics [height=0.7\textheight, width=0.3\textwidth]{ode-example-4-1-1.png}
\end{center}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{4.1.1.4. 画出克莱罗方程的积分曲线族和奇解的图像 }

%{\small\color{blue}
%\begin{Verbatim}[numbers=left,xleftmargin=5mm]
\begin{python}
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

A=np.linspace(-5,5,11)
x=np.linspace(-5,5,101)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
for k in range(len(A)):
    y=A[k]*x - A[k]**2/4
    ax.plot(x,y,'b-')

yq=x**2; ax.plot(x,yq,'r-')
plt.savefig('ode-example-4-1-1.png')
\end{python}
%\end{Verbatim}
%}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.1.1.5. Alexis Claude Clairaut  (1713 - 1765) }

%\begin{itemize}

%\item   Alexis Clairautwas a French mathematician who worked to confirm the Newton-Huygens belief that the Earth was flattened at the poles.

\begin{center}
%\includegraphics [height=0.45\textheight, width=0.2\textwidth]{alexis-claude-clairaut.jpg}
%\hspace{0.1cm}
\includegraphics [height=0.75\textheight, width=0.3\textwidth]{alexis-claude-clairaut-computing.jpg}
\end{center}

%\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.1.1.6. 例子2  }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：求解微分方程 $x(y')^2-2yy'+9x=0$. } 

\item  解答：
\begin{enumerate}\itemsep0.5em 
\item  记 $p=y'$, 解出 $y$, 可得 $ y=\frac{9x}{2p} + \frac{xp}{2}. $
\item  两边对 $x$ 进行微分，可得 $p = \frac{18p - 18xp'}{4p^2} + \frac{p + xp'}{2}. $
\item  整理可得 $9p - 9xp' + xp^2p' - p^3 = 0. $
\item  分解因式可得 $(p-xp')(9-p^2) =0. $
\item  求解 $p=xp'$ 可得 $p=Cx$, 代入原方程可得 $y=\frac{C}{2}x^2+\frac{9}{2C}$, 其中 $C\in\mathbb{R}$. 
\item  求解 $p^2=9$ 可得 $p=\pm 3$, 代入原方程可得 $y=\pm 3 x$. 
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.1.1.7. }

\begin{itemize}

\item  一阶隐式微分方程 $x(y')^2-2yy'+9x=0$ 的积分曲线族与奇解的图像：

\begin{center}
\includegraphics [height=0.7\textheight, width=0.3\textwidth]{ode-example-4-1-2.png}
\end{center}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.1.2.1. 参数法 }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item  {\color{red}问题：用参数法求解微分方程的思路是什么？}

\item  解答：

\begin{enumerate}\itemsep1em

\item  设微分方程可以写成 $F(y,p)=0$. 设有参数表示 $y=g(t), p=h(t)$. 
\item  由 $p=\frac{dy}{dx}$ 可得 $dx=\frac{dy}{p}=\frac{g'(t)dt}{h(t)}$, 积分得 $x(t) = \int \frac{g'(t)}{h(t)}dt.$
\item  得到解函数的参数方程如下，其中 $t$ 为参数，
\begin{eqnarray*}
x = \int \frac{g'(t)dt}{h(t)}, \,\, y = g(t). 
\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.1.2.2. 例子3 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：求解微分方程 $y^2+ \left(\frac{dy}{dx} \right)^2 =1$. } 

\item  解答：
\begin{enumerate}\itemsep0.5em
\item  使用三角函数参数化得到 $y=\cos(t), p=\sin(t)$, 其中参数 $t\in\mathbb{R}$. 
\item  因为 $p=\frac{dy}{dx}$, 所以当 $p\neq 0$ 时，有 $dx=\frac{dy}{p}=\frac{-\sin(t)dt}{\sin(t)} = -dt$. 
\item  积分得到 $x=-t+C$, 其中 $C$ 是任意常数。
\item  得到参数化的解函数 $x=-t+C,\,\, y=\cos(t).$
\item  消去参数可得通解 $y=\cos(C-x)$. 
\item  当 $p=0$ 时，可得特解 $y=\pm 1$. 
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.1.2.3. }

\begin{itemize}

\item  一阶隐式微分方程 $y^2+ \left(\frac{dy}{dx} \right)^2 =1$ 的积分曲线族与奇解的图像：

\begin{center}
\includegraphics [height=0.7\textheight, width=0.8\textwidth]{ode-example-4-1-3.png}
\end{center}

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.1.2.4. 一般情形的参数法 }

\begin{enumerate}\itemsep0.5em

\item  设一阶隐式微分方程 $F(x,y,p)=0$ 有参数表示 $$x=f(u,v), y=g(u,v),  p=h(u,v). $$
\item  由 $p=\frac{dy}{dx}$ 可得 $dy=pdx$, 代入上述参数表示，可得 
$$g\,'_udu + g\,'_vdv = h(u,v)(f\,'_udu + f\,'_vdv).$$
\item  整理得到关于 $u,v$ 的微分方程 $M(u,v)du + N(u,v)dv =0$. 设其通解为 $$v=Q(u,C).$$
\item  得到原方程的通解为 $x=f(u,Q(u,C)), y= g(u, Q(u,C)). $
\item  如果 $Mdu +Ndv=0$ 除通解外还有特解 $v=S(u)$, 则原方程也有特解。
\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.1.2.5. 例子4 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：用参数法求解微分方程 $\left(\frac{dy}{dx} \right)^2 +y -x=0$. } 

\item  解答：
\begin{enumerate}\itemsep0.5em
\item  设 $u=x$ 和 $v=\frac{dy}{dx}$ 为两个参变量。%将 $x,y,\frac{dy}{dx}$ 都表示成 $(u,v)$ 的函数。
原方程写为 $y=x-v^2$. 
\item  微分得 $v=1-2v\frac{dv}{du}$, 整理得到 $(v-1)du + 2vdv =0$. 
\item  由此解得 $u = -2v -\ln(v-1)^2 +C$, 其中 $C$ 是任意常数。
\item  原方程的通解为 
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
x &=& C-2v-\ln(v-1)^2, \\
y &=& C-2v-\ln(v-1)^2-v^2. \\
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.1.2.6. }

\begin{itemize}

\item  一阶隐式微分方程 $\left(\frac{dy}{dx} \right)^2 +y -x=0$ 的积分曲线族的图像：

\begin{center}
\includegraphics [height=0.7\textheight, width=0.8\textwidth]{ode-example-4-1-4.png}
\end{center}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.2.1. 奇解的定义}

\begin{itemize}\itemsep0.5em

\item  {\color{red}问：什么是奇解？} 

\item  答：奇解是微分方程 $F(x,y,p)=0$ 的一个特解 $$y=\varphi(x),\,\, x\in J,$$ 
在这个特解的图像 $\Gamma$ 上的每一点 $Q$, 在 $Q$ 的任意领域内，都有一个不同于 $\Gamma$ 的解，在点 $Q$ 与 $\Gamma$ 相切。

\item  例子：（上一节的例子1、2、3）
\begin{enumerate}\itemsep0.5em
\item  $y=x^2$ 是微分方程 $4y + (y')^2=4xy'$ 的奇解。
\item  $y=\pm 3 x$ 是微分方程 $x(y')^2-2yy'+9x=0$ 的两个奇解。
\item  $y=\pm 1$ 是微分方程 $y^2+(y')^2 =1$ 的两个奇解。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.2.2. 奇解存在的必要条件}

\begin{itemize}

\item  {\color{red}
定理4.1：设函数 $F(x,y,p)$ 对 $(x,y,p)\in G$ 是连续的，而且对 $y$ 和 $p$ 有连续的偏导数 $F'_y$ 和 $F'_p$. 
若函数 $y=\varphi(x),\,x\in J$ 是微分方程 $F(x,y,p)=0$ 的一个奇解，其中 $p=\frac{dy}{dx}$, 并且 $$(x,\varphi(x),\varphi'(x))\in G\,\, (x\in J),$$
则有如下 $p$-判别式成立：
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
F(x,y,p) &=& 0, \\ 
F'_p(x,y,p) &=& 0.
\end{array}\right. 
\end{eqnarray*}
}

\item  注：由上述判别式联立方程消去 $p$ 得到的方程 $\Delta(x,y)=0$ 所决定的曲线称为 $p$-判别曲线。
这个定理是说，奇解是一条 $p$-判别曲线。
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.2.3. 证明：奇解存在的必要条件}

\begin{enumerate}\itemsep0.5em

\item  反证法。设 $F\,'_p(x_0,y_0,p_0)\neq 0$. 

\item  由隐函数定理，因为 $F\,'_p(x_0,y_0,p_0)\neq 0$, 所以从 $F(x,y,p)=0$ 可以解出 $p=f(x,y)$, 且 $p_0=f(x_0,y_0)$. 

\item  因为 $F(x,y,p)$ 有连续的偏导数 $F\,'_y$ 和 $F\,'_p$, 所以下述 $f\,'_y(x,y)$ 是连续函数：
$$f\,'_y(x,y) = - \frac{F\,'_y(x,y,f(x,y))}{F\,'_p(x,y,f(x,y))}.$$

\item  由皮卡定理知，经过点 $(x_0,y_0)$ 的解存在且唯一。这与奇解的定义矛盾。

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.2.4.  }

\begin{itemize}\itemsep0.5em

\item  {\color{red}问题：求微分方程 $x(y')^2-2yy'+9x=0$ 的奇解。(参考例子4.1.2)} 

\item  解答：

\begin{enumerate}\itemsep0.5em

\item  记 $p=y'$, 则 $F(x,y,p)=xp^2-2yp+9x$. 

\item  计算偏导数 $F\,'_p = 2xp -2y$. 

\item  联立的p-判别式
$%\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
F &=& 0 \\ 
F\,'_p &=& 0
\end{array}\right. 
$%\end{eqnarray*}
为 
$%\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
xp^2-2yp+9x &=& 0, \\ 
2xp -2y &=& 0.
\end{array}\right. 
$%\end{eqnarray*}

\item  由此求出 $p=\pm 3$, 从而得出 $y=\pm 3x$ 是两个可能的奇解。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.2.5.  }

\begin{itemize}\itemsep0.5em

\item  {\color{red}问题：求微分方程 $y^2 + (y')^2 = 1$ 的奇解。(参考例子4.1.3)} 

\item  解答：

\begin{enumerate}\itemsep0.5em

\item  记 $p=y'$, 则 $F(x,y,p)=y^2 + p^2 - 1$. 

\item  计算偏导数 $F\,'_p = 2p$. 

\item  联立的p-判别式
$%\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
F &=& 0 \\ 
F\,'_p &=& 0
\end{array}\right. 
$%\end{eqnarray*}
为 
$%\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
y^2 + p^2 -1 &=& 0, \\ 
2p &=& 0.
\end{array}\right. 
$%\end{eqnarray*}

\item  由此求出 $p=0$, 从而得出 $y=\pm 1$ 是两个可能的奇解。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.2.6.  }

\begin{itemize}\itemsep0.5em

\item  {\color{red}问题：求克莱罗方程 $y=xy'+f(y')$ 的奇解。(参考例子4.1.1)} 

\item  解答：

\begin{enumerate}\itemsep0.5em

\item  记 $p=y'$, 则 $F(x,y,p)=xp + f(p) - y$. 

\item  计算偏导数 $F\,'_p = x + f\,'(p)$. 

\item  联立的p-判别式
$%\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
F &=& 0 \\ 
F\,'_p &=& 0
\end{array}\right. 
$%\end{eqnarray*}
为 
$%\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
xp + f(p) - y &=& 0, \\ 
x + f\,'(p) &=& 0.
\end{array}\right. 
$%\end{eqnarray*}

\item  将 $p$ 看作参数，得出可能的奇解的参数方程
$%\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
x &=& - f\,'(p), \\ 
y &=& f(p) - pf\,'(p).  
\end{array}\right. 
$%\end{eqnarray*}


\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.2.7.  }

\begin{itemize}\itemsep0.5em

\item  {\color{red}问题：求微分方程 $(y')^2+y-x=0$ 的奇解。(参考例子4.1.4)} 

\item  解答：

\begin{enumerate}\itemsep0.5em

\item  记 $p=y'$, 则 $F(x,y,p)=p^2 + y - x$. 

\item  计算偏导数 $F\,'_p = 2p$. 

\item  联立的p-判别式
$%\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
F &=& 0 \\ 
F\,'_p &=& 0
\end{array}\right. 
$%\end{eqnarray*}
为 
$%\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
p^2 + y - x &=& 0, \\ 
2p &=& 0.
\end{array}\right. 
$%\end{eqnarray*}

\item  得出 $p=0$ 与 $y-x=0$. 但这是相互矛盾的。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.2.8. 例子 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：求微分方程 $(y')^2-y^2=0$ 的奇解。} 

\item  解答：

\begin{enumerate}\itemsep0.5em

\item  记 $p=y'$, 则 $F(x,y,p)=p^2 - y^2$. 

\item  计算偏导数 $F\,'_p = 2p$. 

\item  联立的p-判别式
$%\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
F &=& 0 \\ 
F\,'_p &=& 0
\end{array}\right. 
$%\end{eqnarray*}
为 
$%\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
p^2 - y^2 &=& 0, \\ 
2p &=& 0.
\end{array}\right. 
$%\end{eqnarray*}

\item  得出 $p=0$ 与 $y=0$. 

\item  计算可知微分方程的通解为 $y=Ce^{\pm x}$, 上述解 $y=0$ 对应 $C=0$ 的情形。

\item  画出积分曲线族，可见 $y=0$ 不是奇解。因此该微分方程没有奇解。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.2.9. 奇解的充分条件 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}定理4.2.  考虑微分方程 $F(x,y,p)=0$. } 

\begin{enumerate}\itemsep0.5em

\item  {\color{red}设函数 $F(x,y,p)$ 对 $(x,y,p)\in G$ 是二阶连续可微的。} 

\item  {\color{red}设从p-判别式 $F=0, F\,'_p=0$ 得到的函数 $y=\psi(x),x\in J$ 是一个解。}

\item  {\color{red}设下述三个条件对 $x\in J$ 成立，
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
F\,'_y (x,\psi(x),\psi'(x)) &\neq & 0, \\ 
F\,''_{pp} (x,\psi(x),\psi'(x)) &\neq & 0, \\ 
F\,'_p (x,\psi(x),\psi'(x)) &=& 0. 
\end{array}\right. 
\end{eqnarray*} }

\item  {\color{red}则函数 $y=\psi(x), x\in J$ 是该微分方程的奇解。}

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.2.10. 例子 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：求微分方程 $(y-1)^2(y')^2=ye^{xy}$ 的奇解。} 

\item  解答：记 $p=y'$. 

\begin{enumerate}\itemsep0.5em

\item  函数 $F(x,y,p)=(y-1)^2p^2-ye^{xy}$ 对 $(x,y,p)\in \mathbb{R}^3$ 是二阶连续可微的。

\item  该微分方程的p-判别式为
$%\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
F &=& (y-1)^2p^2-ye^{xy} = 0, \\ 
F\,'_p &=& 2p(y-1)^2 = 0. 
\end{array}\right. 
$%\end{eqnarray*} 

\item  求得 $p=0$. 验证可知 $y=0,x\in \mathbb{R}$ 是一个解。

\item  验证三个条件对 $x\in \mathbb{R}$ 成立，
\begin{eqnarray*}
%\left\{\begin{array}{rcl}
F\,'_y (x,0,0) = -1\neq 0, \,\,  
F\,''_{pp} (x,0,0) =2\neq 0, \,\,  
F\,'_p (x,0,0) = 0. 
%\end{array}\right. 
\end{eqnarray*} 

\item  因此函数 $y=0$ 是该微分方程的奇解。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.3.1. 包络的定义 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：什么是曲线族的包络？}

\item  答：

\begin{enumerate}\itemsep0.5em

\item  设 $(x,y)$ 平面上有单参数曲线族 $K(C): \, V(x,y,C)=0$, 其中函数 $V(x,y,C)$ 对 $(x,y,C)\in D\subseteq \mathbb{R}^3$ 是连续可微的。

\item  设 $\Gamma$ 是 $(x,y)$ 平面上的一条连续可微的曲线。

\item  如果对任意点 $q\in \Gamma$, 在曲线族中都存在一条曲线 $K(C^*)$ 通过该点，并与 $\Gamma$ 在该点相切，
并且曲线 $K(C^*)$ 在该点的任意领域内都不同于 $\Gamma$, 

\item  那么称曲线 $\Gamma$ 是曲线族的一支包络。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.3.2. 单参数曲线族与包络的例子 }

\begin{center}
\begin{figure}
\includegraphics [height=0.65\textheight, width=0.4\textwidth]{ode-example-4-3-0-a.png}
\hspace{0.1cm}
\includegraphics [height=0.65\textheight, width=0.4\textwidth]{ode-example-4-3-0-b.png}
\caption{左：没有包络；右：直线 y=1 是包络 }
\end{figure}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.3.3. }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 定理4.3：设微分方程 $F(x, y, p)=0$ 的通解 $U(x, y, C)=0$ 的积分曲线族有包络 
$\Gamma: y=\varphi(x), x\in J$, 则这个包络是微分方程的一个奇解。} 

\item  证明：

\begin{enumerate}\itemsep0.5em

\item  设 $(x_0,y_0)$ 是包络 $\Gamma$ 上的任意一点。设通解里的积分曲线 $y=u(x,C_0)$ 在该点与包络相切，则有
$y_0=\varphi(x_0)=u(x_0,C_0)$ 与 $\varphi'(x_0)=u'_x(x_0, C_0)$. 

\item  因为 $y=u(x,C_0)$ 是微分方程的解，所以有 $F(x, u(x, C_0), u'_x(x, C_0))=0$. 

\item  特别地，当 $x=x_0$ 时，有 $F(x_0, u(x_0, C_0), u'_x(x_0, C_0))=0$. 

\item  根据上述1和3，可得 $F(x_0,\varphi(x_0), \varphi'(x_0)) = 0$. 

\item  因为 $(x_0,y_0)$ 是任意的，所以函数 $y=\varphi(x), x\in J$ 也是微分方程的解。

\item  根据包络的定义，在包络的任意点的任意领域内，包络都不同于通解中的积分曲线。因此包络是奇解。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.3.4. 包络的必要条件 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 定理4.4：设 $\Gamma: y=\varphi(x),x\in J$ 是曲线族 $K(C): V(x,y,C)=0$ 的一支包络。
并设 $\Gamma$ 可以表示为 参数 $C$ 的光滑曲线。则它满足如下的C-判别式
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
V(x,y,C) &=& 0, \\ 
V'_C(x,y,C) &=& 0. 
\end{array}\right. 
\end{eqnarray*} 
这个包络 $\Gamma$ 也满足从C-判别式消去 $C$ 得到的等式 $\Omega(x,y)=0$. 
} 


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.3.5. 包络的充分条件 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 定理4.5：设从曲线族 $\{K(C): V(x,y,C)=0\mid C\in J \}$ 的C-判别式
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
V(x,y,C) &=& 0, \\ 
V'_C(x,y,C) &=& 0. 
\end{array}\right. 
\end{eqnarray*} 
得出一支连续可微的曲线 
\begin{eqnarray*}
\Lambda: \left\{\begin{array}{rcl}
x &=& \varphi(C), \\ 
y &=& \psi(C), 
\end{array}\right. 
(C\in J), 
\end{eqnarray*} 
而且它满足非退化条件 
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{l}
(\varphi'(C),\psi'(C)) \neq (0,0), \\ 
(V'_x(\varphi(C),\psi(C),C), V'_y(\varphi(C),\psi(C),C)) \neq (0,0). 
\end{array}\right. 
\end{eqnarray*} 
则 $\Lambda$ 是曲线族 $\{K(C)\mid C\in J \}$ 的一支包络。

} 

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.3.6. 例子1 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：求微分方程 $(y-1)^2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{4}{9}y$ 的通积分，画出积分曲线族，求出包络和奇解。} 

\item  解答：
\begin{enumerate}

\item  通积分为 $(x-C)^2-y(y-3)^2=0$, 其中 $C\in\mathbb{R}$ 是任意常数。

\item  通积分的C-判别式为
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
V(x,y,C) &=& (x-C)^2-y(y-3)^2 = 0, \\ 
V'_C(x,y,C) &=& -2(x-C) = 0. 
\end{array}\right. 
\end{eqnarray*} 
得出两支连续可微曲线 $y=0$ 和 $y=3$. 

\item  验证包络的充分条件（定理4.5），可知 $y=0$ 是积分曲线族的包络。 

\item  直接代入微分方程验证，可知 $y=3$ 不是微分方程的解。

\item  根据通解的包络必是奇解（定理4.3），可知 $y=0$ 是微分方程的奇解。 
\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.3.7. 例子1的图像 }

\begin{center}
%\begin{figure}
\includegraphics [height=0.65\textheight, width=0.4\textwidth]{ode-example-4-3-1-a.png}
\hspace{0.1cm}
\includegraphics [height=0.65\textheight, width=0.4\textwidth]{ode-example-4-3-1-b.png}
%\caption{Rudolf Lipschitz and Charles-Émile Picard }
%\end{figure}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{4.3.8. Sympy模块里的隐函数画图 }

%{\small\color{blue}
%\begin{Verbatim}[numbers=left,xleftmargin=5mm]
\begin{python}
import sympy as sy
import sympy.plotting as syp

x, y = sy.symbols('x y')
C=[-3,-2,-1,0,1,2,3]
p = None

for k in range(len(C)):
  G = (x-C[k])**2-y*(y-3)**2   
  p2 = syp.plot_implicit(G,(x,-5,5),(y,-1,6),show=False,\
			line_color='b')
  if p:
    p.extend(p2)
  else:
    p = p2
\end{python}
%\end{Verbatim}
%}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{4.3.9. 例子2 }

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：求解微分方程 $\left(\frac{dy}{dx}\right)^4 - \left(\frac{dy}{dx}\right)^3 -y^2\frac{dy}{dx} + y^2 = 0$. } 

\item  解答：

\begin{enumerate}%\itemsep0.5em
\item  记 $p=\frac{dy}{dx}$, 则该隐式微分方程为 $F(x,y,p)=p^4-p^3-y^2p+y^2 =0$. 
\item  分解因式可得 $(p^3-y^2)(p-1) = 0$. 
\item  从 $p=y^{2/3}$ 可得 $y=\frac{1}{27}(x+C_1)^3$, 从 $p=1$ 可得 $y=x+C_2$. 
\item  考虑单参数曲线族  $V(x,y,C) = [27y - (x-C)^3][y-(x-C)]=0$. 
\item  这个单参数曲线族的C-判别式为
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
V(x,y,C) &=& [27y - (x-C)^3][y-(x-C)]=0, \\ 
V'_C(x,y,C) &=& 3(x-C)^2(y-x+C) + [27y - (x-C)^3] = 0. 
\end{array}\right. 
\end{eqnarray*} 

\item  求得 $x=C, y=0$ 或 $x=C\pm \sqrt{27}, y=\pm\sqrt{27}$. 验证得奇解 $y=0$. 

\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题4-1 }

\begin{itemize}\itemsep1em

\item[1.]   用微分法求解微分方程，其中 $p=\frac{dy}{dx}$. 
\begin{enumerate}
\item[(1)]  $2y = p^2 +4px +2x^2$. 
\item[(2)]  $y=px\ln x + (xp)^2$. 
\end{enumerate}

\item[2.]  用参数法求解微分方程，其中 $p=\frac{dy}{dx}$. 
\begin{enumerate}
\item[(1)]  $2y^2 +5p^2=4$. 
\item[(2)]  $x^2-3p^2=1$. 
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题4-2 }

\begin{enumerate}\itemsep1em

\item  利用p-判别式求微分方程的奇解，其中 $p=\frac{dy}{dx}$.
\begin{enumerate}
\item[(1)]  $y=xp+p^2$. 
\item[(2)]  $y=2xp+p^2$. 
\end{enumerate}

\item  （选做）证明奇解存在的必要条件。

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题4-3 }

\begin{enumerate}\itemsep1em

\item  求克莱罗方程 $y=xp-p^2$ 的通解及其包络，其中 $p=\frac{dy}{dx}$. 

\item  （选做）求微分方程，使它有奇解 $y=\sin x$. 

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\end{document}

